聊聊泛化低秩模型

在机器学习及数据挖掘领域中，数据集中的每个样本通常用一行数据来表示，其中每个数据表示某种特征的具体表现，所有数据样本会构成一个矩阵。一般情况下，会遇到其中含有多种类型的数据，比如数值型，布尔类型，类别型，序列型等，也会遇到其中包含缺失值的情形。

现在处理的矩阵一般都是非常高维度的，直接对其处理计算复杂度较高，也不能发现其中隐含的特征。对于全数值类型的矩阵，可以利用主成分分析（PCA）将其将至低维空间中，对PCA加以扩展，即可将其用于缺失值填补。

最近由斯坦福大学学者提出的泛化低秩模型（generalized low rank model, GLRM），可以看作PCA的一种扩展，跟PCA类似，它可以将原矩阵分解成两个低秩矩阵的乘积，基于最小化近似误差来逼近原矩阵。如果数据矩阵中包含多种类型的数据，数值，布尔，类别，序列等，对于PCA，则需要将布尔类型的数据转化为1，-1，类别类型的数据则需要利用one-hot encoding 将其变换为数值类型，序列类型的可以利用连续整数来替换，进而可以直接利用PCA。而GLRM就可以避免这个变换的过程。

施加不同的正则项可以得到不同的模型，下面是几种正则项的示例。

通过选择不同的目标函数可以得到不同的泛化低秩模型，GLRM涵盖了非负矩阵分解，矩阵填补，稀疏鲁棒PCA，K-Means，k-SVD以及最大间隔矩阵分解等。它可以用于压缩，去噪以及填补缺失值等任务。

[参考资料]

[1] https://web.stanford.edu/~boyd/papers/pdf/glrm.pdf

[2] https://people.orie.cornell.edu/mru8/doc/udell15_glrm_slides.pdf