1. 问题描述

输入一个整形数组，求数组中连续的子数组使其和最大。比如，数组x

应该返回 x[2..6]的和187.

2. 问题解决

我们很自然地能想到穷举的办法，穷举所有的子数组的之和，找出最大值。

穷举法

i, j的for循环表示x[i..j]，k的for循环用来计算x[i..j]之和。

maxsofar = 0

for i = [0, n)

    for j = [i, n)

        sum = 0

        for k = [i, j]

            sum += x[k]

        /* sum is sum of x[i..j] */

        maxsofar = max(maxsofar, sum)

有三层循环，穷举法的时间复杂度为O(n3)

对穷举法的改进1

我们注意到x[i..j]之和 = x[i..j-1]之和 + x[j]，因此在j的for循环中，可直接求出sum。

maxsofar = 0

for i = [0, n)

    sum = 0

    for j = [i, n)

        sum += x[j]

        /* sum is sum of x[i..j] */

        maxsofar = max(maxsofar, sum)

显然，改进之后的时间复杂度变为O(n2)。

对穷举法的改进2

在计算fibonacci数时，应该还有印象：用一个累加数组（cumulative array）记录前面n-1次之和，计算当前时只需加上n即可。同样地，我们用累加数组cumarr记录：cumarr[i] = x[0] + . . . +x[i]，那么x [i.. j]之和 = cumarr[j] -cumarr[i - 1]。

cumarr[-1] = 0

for i = [0, n)

    cumarr[i] = cumarr[i-1] + x[i]

    

maxsofar = 0

for i = [0, n)

    for j = [i, n)

        sum = cumarr[j] - cumarr[i-1]

        /* sum is sum of x[i..j] */

        maxsofar = max(maxsofar, sum)

时间复杂度依然为O(n2)。

分治法

所谓分治法，是指将一个问题分解为两个子问题，然后分而解决之。具体步骤如下：

• 先将数组分为两个等长的子数组a, b；

分别求出两个数组a，b的连续子数组之和；

还有一种情况（容易忽略）：有可能最大和的子数组跨越两个数组；

• 最后比较ma, mb, mc，取最大即可。

在计算mc时，注意：mc必定包含总区间的中间元素，因此求mc等价于从中间元素开始往左累加的最大值 + 从中间元素开始往右累加的最大值。

float maxsum3(l, u)

    if (l > u) /* zero elements */

        return 0

        

    if (l == u) /* one element */

        return max(0, x[l])

    

    m = (l + u) / 2

    /* find max crossing to left */

    lmax = sum = 0

    for (i = m; i >= l; i--)

        sum += x[i]

        lmax = max(lmax, sum)

    

    /* find max crossing to right */

    rmax = sum = 0

    for i = (m, u]

        sum += x[i]

        rmax = max(rmax, sum)



    return max(lmax+rmax,

                maxsum3(l, m),

                maxsum3(m+1, u));

容易证明，时间复杂度为O(n∗log n。

动态规划

Kadane算法又被称为扫描法，为动态规划（dynamic programming）的一个典型应用。我们用DP来解决最大子数组和问题：对于数组aa，用cici标记子数组a[0..i]的最大和，那么则有

子数组最大和即为maxcii。Kadane算法比上面DP更进一步，不需要用一个数组来记录中间子数组和。通过观察容易得到：若ci−1≤0，则ci=ai。用e表示以当前为结束的子数组的最大和，以替代数组c；那么

Python实现如下：

def max_subarray(A):

    max_ending_here = max_so_far = A[0]

    for x in A[1:]:

        max_ending_here = max(x, max_ending_here + x)

        max_so_far = max(max_so_far, max_ending_here)

    return max_so_far

max_ending_here对应于标记ee，max_so_far记录已扫描到的子数组的最大和。Kadane算法只扫描了一遍数组，因此时间复杂度为O(n).

3. 参考资料

[1] Jon Bentley, Programming Pearls.
[2] GeeksforGeeks, Largest Sum Contiguous Subarray.