前面我们介绍了线性回归，为捕获训练集中隐藏的线性模型，提高预测准确率，我们寻找最佳参数 θ，使得预测值与真实值误差尽量小，也就是使均方误差最小。而经过验证，最小均方误差是符合最大似然估计理论的。
在 Logistic 回归中，我们依然要用到最大似然估计理论。
分类问题跟回归问题的区别是，预测值 y 取的是离散值。本文只讨论二分类问题，y 只能取 0 和 1 两个值。
如果不管 y 是离散值，硬要用线性回归算法来根据 x 来预测 y 值，也不是不行，但效果就很差。
理想情况下，我们希望有一个预测公式，把 y 等于 1 的 x 通过预测公式正好映射到 1，把 y 等于 0 的 x 通过预测公式正好映射到 0，这样就能把 x 空间一劈两半，一边是 1，一边是 0，当然，这是不现实的。
因此，我们只能希望当 y 等于 1 时，预测算法根据 x 值的计算结果应该尽量接近 1，当 y 等于 0 时，预测结果应尽量接近 0。尽量把属于 1 和 0 的 x 分开，少数 x 处于 1 和 0 的交界处。
这是不是让我们想起了这样一幅函数图像：
这就是 Sigmoid 函数图像。
公式是：
当 z 趋于无穷时，g(z) 趋近 1，当 z 趋于负无穷时，g(z) 趋于 0。这样 g(z) 的值就只是在 0 和 1 之间。
我们的分类模型就可以使用这个函数，让 z=θTx，可得：
这样就将 x 映射到了 hθ(x)，即 y，且大部分 x 对应的 y 值不是趋近于 1 就是趋近 0，模糊地带的很少。
记得在线性回归中 hθ(x) 的定义是
而我们这里是对 θTx 做了个映射，把 θTx 映射到 0、1 区间里，因为要预测的 y 值就是 0 和 1，这样就很容易通过监督学习对参数 θ 进行优化，使 x 更容易地映射到相应的 y 值。
其实除了 Sigmoid 函数，其它从 0 到 1 平滑递增的函数也能用，但为什么我们要用 Sigmoid 函数呢？在后面一般线性模型会讲到，Sigmoid 是个很自然的选择。
Sigmoid 函数的导数有个有用的性质：
现在，有了 Logistic 回归模型，怎么找到合适的 θ 呢？在线性回归中，我们是通过最小化均方误差来寻找 θ，这里的分类就不能用均方误差，但我们知道线性回归中，在一定概率假设下，最小化军方误差其实可以从最大化似然估计中推导出来，这里我们也将在一定概率假设下，通过最大化似然估计来寻找参数。
假定：
这里把 hθ(x) 作为给定 x 和 θ 时，y=1 的概率。
这两个公式还可以更紧凑：
其中：
假设函数把 hθ(x) 就是 x 属于 y=1 的概率，即 y=1 的条件概率为 hθ(x)，y=0 的条件概率为 1-hθ(x)。当我们要判别一个新来的 x 属于哪个类时，只需求 hθ(x)，若大于 0.5 就是 y=1 的类，反之属于 y=0 类。
再审视下 hθ(x)，发现 hθ(x) 只和 θTx 有关，θTx>0，x 就是 y=1 的类。g(z) 只不过是用来映射，真实的类别决定权还在 θTx。当 θTx 趋于正无穷时，hθ(x)=1，反之 hθ(x)=0。如果我们只从 θTx 出发，希望模型达到的目标无非就是让训练集中 y=1 的特征 θTx 远大于 0，而 y=0 的特征 θTx 远小于 0。Logistic 回归就是要学习得到 θ，使得正例的特征远大于 0，负例的特征远小于 0，强调在全部训练实例上达到这个目标。
假定 m 个训练实例是独立生成的，我们能写下参数的似然函数为：
跟之前一样，最大化 log 似然会更容易：
怎么最大化该似然函数呢？跟线性回归的求导类似，我们依然使用梯度下降，使用向量表示，θ 的更新规则是：
注意这个的更新公式里是加号，而不是减号，因为这里我们是要最大化，跟之前讲的线性回归中最小化均方误差不一样：
这里只对一个训练数据，对似然函数求导如下，将 hθ(x)=g(θTx) 代入，并利用 sigmoid 导数性质 g'(z)=g(z)(1-g(z))，得：
由此，随机梯度上升规则如下：
如果再往前翻下线性回归的最小均方误差的更新规则，会发现更新规则是一模一样的，但这是不同的算法，因为现在 hθ(x) 是 θTx 的非线性函数。完全不同的算法和学习问题，更新规则竟然是一样的！这是巧合吗？或者是背后有更深层的原因？后面讲一般线性模型时我们会回答这个问题。
题外话：
稍微修改下 Logistic 回归方法，使其强制输出 0 或者 1，这就需要修改 g 的定义，g 定义成一个门限函数。
然后我们使用更新规则：
这就是感知机学习算法。
在上个世纪 60 年代，感知机作为大脑工作单元的一个粗糙模型，是备受争议的。算法很简单，后面讲到学习理论时会详谈。表面上看感知机与我们讨论的其它算法很相似，它实际是一个跟 Logistic 和最小二乘回归非常不同的算法，特别是，它很难对预测做概率上的解释，或者从最大似然估计算法中推出到感知机。
题外话结束。这里不懂也没关系，只是提一下，后面会详谈。
下面介绍最大化似然函数的另一种算法，首先考虑寻找一个函数零点的牛顿方法，假定有个函数 f，想要找到一个 θ 值使得 f(θ)=0。这里 θ 是一个实数，不是向量。牛顿方法执行下面的更新：
只看这个公式还有点困惑，加上图再讲解就明白了。
f'(θ) 是导数，导数就是斜率，斜率就是 Δf(θ)/Δθ……
所以 θ-f(θ)/f'(θ) 就是，在 θ 点 f(θ) 的切线等于 0 的点。见上图。
牛顿方法提供了一种到达 f(θ)=0 的方法，它如何用来求最大似然呢？似然函数的最大值也就是其导数为 0 时的点。所以，可得更新规则：
由于我们的 Logistic 回归的 θ 是向量，所以牛顿方法需要扩展成多维，也叫 Newton-Raphson 方法：
其中 H 是一个 n*n 的 Hessian 矩阵，其元素是：
牛顿方法收敛得比批梯度下降方法快，到最小值需要更少的迭代次数。但牛顿方法的一次迭代比梯度下降费劲多了，因为它需要寻找并转换 n*n 的 Hessian 矩阵，但只要 n 不是太大，它通常就会快得多。牛顿方法应用到最大化 Logistic 回归 Log 似然函数时，就叫做 Fisher scoring。
参考资料：
1、http://cs229.stanford.edu/notes/cs229-notes1.pdf
2、洪松林, 庄映辉, 李堃. 数据挖掘技术与工程实践[M]. 机械工业出版社. 2014
