问题重述

某厂生产一种弹子锁，其槽数高度可以用1到6中取5个来表示。其限制条件是：至少在5个中有3个不同的数；相邻槽的高度相差不能为5。在实际试验中，发现若二锁对应5个槽的高度中有4个相同，另一个差1则可能互开，否则，不可能互开。如果60个锁具装一箱，求一批锁的多少及装箱数，并要求提出一种方案，使团体顾客减少或不再抱怨，并对于所提出的方案，求出其最大无互开的箱数，并衡量原来随机装箱时，顾客抱怨互开的程度。

问题分析

1. 锁具个数
   首先把锁具及装箱问题抽象成数学概念，以5个数字的一个符合条件的组合或组成一个列表数据结构来代表一个相应的锁具，例如[1,2,3,4,5]代表一个锁具。利用排除法的思想，通过Python语言，把问题分为所有可能的组合A6^5，存储到列表结构中；再通过集合的概念，剔除列表中相同槽高，只保留一个，如果个数小于3，则不符合要求，进行剔除；最后，剔除减去相邻差为5的列表。
2. 装箱方案设计
   归类法:把一批锁具分成两类或按其指数之和分为8~27共20类，其中组合,[1,1,1,2,3]为最小，其数字和为8；[6,6,6,5,4]为最大，其数字和为27；所以共有（27-8+1）=20个数组来表示,在装箱时可依:
   d9→d11→…→d27→d 8→d10→d12→… →d27
   或
   d8→d10→…→d26→d9→ …→d26
   二者类似，其中di表示5槽数字和为i的所有组合。
   事实上，对于一数组来说，其各位数之和相同，所以其本身显然不可能有互开现象。对于其它情况可用下法来鉴别：利用Python中的Numpy第三方库进行列表向量化运算，两个列表相减，再进行求和，绝对值为1则二者可能互开；否则不可能互开，记数字和为i的数组di，另一组数据为d_i^'，则有以下结论：
   d_i^'∩d_((i+1))≠∅
   d_i^'∩d_((i))=∅
   d_i^'∩d_((i+j))=∅
   可知：
   d_26^'∩d_27≠∅
   d_8^'∩d_27≠∅
   而对数字和全为偶或全为奇的数组间一定不互开，所以以上设计符合要求。
3. 顾客抱怨定量度量
   对于原来随机装箱时，求其顾客的不满意程度。定量表示时，我们认为可用下列量来表示：
   A：一定量中出现的互开锁具数；
   B：一定量中可能互开的概率；
   C：用计算机模拟仿真随机装箱过程，随机抽点进行计算。

   建模与求解

   1.锁具个数
   利用排除法的思想，通过Python语言，逐步剔除不符合要求的锁具，可得有5880个锁具，每60个一箱，可装98箱，代码如下：

   lists = [1,2,3,4,5,6]
   
   list_alls = []
   
   for list_1 in lists:
   
    for list_2 in lists:
   
        for list_3 in lists:
   
            for list_4 in lists:
   
                for list_5 in lists:
   
                    list_alls.append([list_1,list_2,list_3,list_4,list_5])
   
   print(len(list_alls))
   
   list_deletes_1 = []
   
   for list_all in list_alls:
   
    counts = list(set(list_all))
   
    if len(counts) <= 2:
   
        pass
   
    else:
   
        list_deletes_1.append(list_all)
   
   print(len(list_deletes_1))
   
   list_deletes_2 = []
   
   for list_all_1 in list_deletes_1:
   
    if abs(list_all_1[0] - list_all_1[1]) == 5:
   
        pass
   
    elif abs(list_all_1[1] - list_all_1[2]) == 5:
   
        pass
   
    elif abs(list_all_1[2] - list_all_1[3]) == 5:
   
        pass
   
    elif abs(list_all_1[3] - list_all_1[4]) == 5:
   
        pass
   
    else:
   
        list_deletes_2.append(list_all_1)
   
   print(len(list_deletes_2))

   2.装箱方案设计
   首先证明d9→d11→…→d27→d 8→d10→d12→… →d27无互开现象。设其中某列表为[a,b,c,d,e]（a+b+c+d+e=i为奇数），则（a±1）bcde，a(b±1)cde，ab(c±1)de，abc(d±1)e，abcd(e±1)，当筛选其含相邻差为5或有位为0的不合条件项外，则可知
   a+b+c+d+e±1=i(±1)
   则其为偶数，与d9→d27中任一元素(组合)都不可能相同，对于d8→d10→…→d26类似。
   由此可证明49箱为最大无互开箱数，也就是奇偶分箱方案。
   3.顾客抱怨定量度量
   利用Python计算所有可能互开对为22778，平均互开系数α=0.001317,对于一箱互开个数约2.33，二箱互开个数约9.42,代码如下：

   import random
   
   i = 0
   
   xiangjian_list = []
   
   hukai_counts = []
   
   list_randoms = random.sample(list_deletes_2,60)
   
   for list_randoms_1 in list_randoms:
   
    i = i+1
   
    for list_randoms_2 in list_randoms[i:]:
   
        list_1 = [list_randoms_1[0] - list_randoms_2[0],list_randoms_1[1] - list_randoms_2[1],list_randoms_1[2] - list_randoms_2[2],list_randoms_1[3] - list_randoms_2[3],list_randoms_1[4] - list_randoms_2[4]]
   
        xiangjian_list.append(list_1)
   
   for list_2 in xiangjian_list:
   
    if (list_2.count(0) == 4):
   
        if (list_2.count(1) == 1 | list_2.count(1) == 1):
   
            hukai_counts.append('a')
   
   print(len(hukai_counts))