如果计算涉及到一个单一的向量，而结果也是一个向量，tapply函数是一个可选项，不同于aggregate函数，它返回一个向量或数组，这使得其单个元素很容易被访问。
将组定义为矩阵的行或列，即操作目标为矩阵的每一列或行时，apply函数时最佳选择。该函数通常会返回一个向量或数组，但根据行或列操作的结果维度不同，将返回一个列表。
将组定义为列表中的元素。如果组已经形成列表元素，那么sapply或lapply函数比较适合，它们的区别是lapply返回一个列表，而sapply可将输出简化为向量或数组。有时可以结合使用split函数，将需要处理的数据创建为一个列表，然后再使用这两个函数。
如果所要计算函数的参数为一个矩阵或数组，可以考虑使用mapply函数，该函数非常的灵活和简单，其返回的结果一般是列表形式。
先来看一下tapply()、apply()、lapply()、sapply()和mapply()函数的语法规则:
tapply(X, INDEX, FUN = NULL, ..., simplify = TRUE)
apply(X, MARGIN, FUN, ...)
lapply(X, FUN, ...)
sapply(X, FUN, ..., simplify = TRUE, USE.NAMES = TRUE)
mapply(FUN, ..., MoreArgs = NULL, SIMPLIFY = TRUE,
USE.NAMES = TRUE)
根据不同的函数，输入数据X可能是向量、数组、矩阵或数据框；INDEX一般为类别变量；MARGIN指定矩阵的维度，1表示矩阵的行，2表示矩阵的列；FUN为参与运算的函数，可以是R自带的函数也可以是自己编写的函数；...为函数FUN指定的参数，紧跟在函数的后面。
接下来看一下各个函数的应用情况
为了处理基于一个或多个分组变量的单个向量，可以使用tapply函数，该函数返回一个数组，其维数与分组向量的维数相同。
注意，该函数的输入数据必须是向量，且分析向量与分组向量的长度必须一致
如果想分析iris数据集中Sepal.Length在各个花种中的最大值，可以通过tapply函数实现，这里的Sepal.Length和Species为两个向量，且各自的长度均相等。
如果想对某个变量(向量)进行多变量的分组分析时，也可以采用tapply函数。
首先构造一个数据框：
接下来想对z变量做分组统计，分组变量为x和y
这里的NA表示x和y的分组中没有对应的z值。
当数据具备数组的特性，可通过apply函数对数据的每个维度进行运算，该函数需要三个参数：需要计算的数组、运算维度的索引号和使用的函数。
标准化一个矩阵：这里可以直接给参数FUN为scale
当然，如果想统计各个列的均值，为比较显式循环和apply的隐式循环，程序如下，就可以比较出两种方式的效率：
结果显式，通过apply计算矩阵列的均值速度是显式循环的50倍。这说明在R中使用循环的话尽量使用到隐式的向量化计算，否则计算效率非常差。
再来看一个如何使用自编函数应用到apply中：这里显式了前7列的统计量值。
lapply()函数和sapply()函数把一个列表或向量作为其第一个参数，再把需要应用到每个列表元素的函数作为它的第二个参数。其实它也应用到了循环，是一种隐式的循环，对列表的每一个元素做同样的函数计算。
应用：查看字符向量中每一个元素所包含的单词个数
使用sapply函数的另一个重要问题涉及到数据框。当数据框被视为列表时，数据框的每一列看着独立的列表元素。
查看数据集iris和ChickWeight各个字段的模式和类
通过以上的应用，可以提取满足特定条件的数据框的列
接下来使用自编函数加入到sapply函数中，实现循环。该自编函数的目的是计算出1000个100*5的矩阵中最大相关系数的均值。这里很关键的一点是给自编函数传一个虚拟参数i用来循环。
最后再来看一下mapply函数的应用：该函数的第一个参数为指定的函数，第二个参数为指定函数的参数。如果根据某种正则表达式将一个字符向量的对应特征取出来，例如取出'qaws1few4g'中的'1f'和'4g'
最后总结一下：
tapply()的被分析对象必须且只能是向量
apply()的被分析对象必须且只能是矩阵或数组
sapply()的被分析对象必须且只能是向量或列表
lapply()的被分析对象必须且只能是向量或列表
mapply()的被分析对象必须是函数
