1. 前言
分类与回归树（Classification and Regression Trees, CART）是由四人帮Leo Breiman, Jerome Friedman, Richard Olshen与Charles Stone于1984年提出，既可用于分类也可用于回归。本文将主要介绍用于分类的CART。CART被称为数据挖掘领域内里程碑式的算法。
不同于C4.5，CART本质是对特征空间进行二元划分（即CART生成的决策树是一棵二叉树），并能够对标量属性（nominal attribute）与连续属性（continuous attribute）进行分裂。
2. CART生成
前一篇提到过决策树生成涉及到两个问题：如何选择最优特征属性进行分裂，以及停止分裂的条件是什么。
特征选择
CART对特征属性进行二元分裂。特别地，当特征属性为标量或连续时，可选择如下方式分裂：
An instance goes left if CONDITION, and goes right otherwise
即样本记录满足CONDITION则分裂给左子树，否则则分裂给右子树。
标量属性
进行分裂的CONDITION可置为不等于属性的某值；比如，标量属性Car Type取值空间为{Sports, Family, Luxury}，二元分裂与多路分裂如下：
连续属性
CONDITION可置为不大于ε；比如，连续属性Annual Income，ε取属性相邻值的平均值，其二元分裂结果如下：
接下来，需要解决的问题：应该选择哪种特征属性及定义CONDITION，才能分类效果比较好。CART采用Gini指数来度量分裂时的不纯度，之所以采用Gini指数，是因为较于熵而言其计算速度更快一些。对决策树的节点t，Gini指数计算公式如下：
Gini指数即为1与类别ck的概率平方之和的差值，反映了样本集合的不确定性程度。Gini指数越大，样本集合的不确定性程度越高。分类学习过程的本质是样本不确定性程度的减少（即熵减过程），故应选择最小Gini指数的特征分裂。父节点对应的样本集合为D，CART选择特征A分裂为两个子节点，对应集合为DL与DR；分裂后的Gini指数定义如下：
其中，|⋅|表示样本集合的记录数量。
CART算法
CART算法流程与C4.5算法相类似：
- 若满足停止分裂条件（样本个数小于预定阈值，或Gini指数小于预定阈值（样本基本属于同一类，或没有特征可供分裂），则停止分裂；
- 否则，选择最小Gini指数进行分裂；
- 递归执行1-2步骤，直至停止分裂。
3. CART剪枝
CART剪枝与C4.5的剪枝策略相似，均以极小化整体损失函数实现。同理，定义决策树TT的损失函数为：
其中，C(T)表示决策树的训练误差，α为调节参数，|T|为模型的复杂度。
CART算法采用递归的方法进行剪枝，具体办法：
- 将α递增0=α0<α1<α2<⋯<αn，计算得到对应于区间[αi,αi+1)的最优子树为Ti；
- 从最优子树序列{T1,T2,⋯,Tn}选出最优的（即损失函数最小的）。
如何计算最优子树为Ti呢？首先，定义以t为单节点的损失函数为
以t为根节点的子树Tt的损失函数为
令Lα(t)=Lα(Tt)，则得到
此时，单节点t与子树Tt有相同的损失函数，而单节点t的模型复杂度更小，故更为可取；同时也说明对节点t的剪枝为有效剪枝。由此，定义对节点t的剪枝后整体损失函数减少程度为
剪枝流程如下：
- 对输入决策树T0，自上而下计算内部节点的g(t)；选择最小的g(t)作为α1，并进行剪枝得到树T1，其为区间[α1,α2)对应的最优子树。
- 对树T1，再次自上而下计算内部节点的g(t)；……α2……T2……
- 如此递归地得到最优子树序列，采用交叉验证选取最优子树。
关于CART剪枝算法的具体描述请参看[1]，其中关于剪枝算法的描述有误：
(6)如果T不是由根节点单独构成的树，则回到步骤(4)
应改为回到步骤(3)，要不然所有α均一样了。
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李航老师已经在勘误表给出修改了。
4. 参考资料
[1] 李航，《统计学习方法》.
[2] Pang-Ning Tan, Michael Steinbach, Vipin Kumar, Introduction to Data Mining.
[3] Dan Steinberg, The Top Ten Algorithms in Data Mining.