1. 极大似然

极大似然（Maximum Likelihood）估计为用于已知模型的参数估计的统计学方法。比如，我们想了解抛硬币是正面（head）的概率分布θ；那么可以通过最大似然估计方法求得。假如我们抛硬币10次，其中8次正面、2次反面；极大似然估计参数θ值：

其中，l(θ)为观测变量序列的似然函数（likelihood function of the observation sequence）。对l(θ)求偏导

因为似然函数l(θ)不是凹函数（concave），求解极大值困难。一般地，使用与之具有相同单调性的log-likelihood，如图所示

凹函数（concave）与凸函数（convex）的定义如图所示：

从图中可以看出，凹函数“容易”求解极大值，凸函数“容易”求解极小值。

2. EM算法

EM算法（Expectation Maximization）是在含有隐变量（latent variable）的模型下计算最大似然的一种算法。所谓隐变量，是指我们没有办法观测到的变量。比如，有两枚硬币A、B，每一次随机取一枚进行抛掷，我们只能观测到硬币的正面与反面，而不能观测到每一次取的硬币是否为A；则称每一次的选择抛掷硬币为隐变量。

用Y表示观测数据，Z表示隐变量；Y和Z连在一起称为完全数据( complete-data )，观测数据Y又称为不完全数据(incomplete-data)。观测数据的似然函数：

求模型参数的极大似然估计：

因为含有隐变量，此问题无法求解。因此，Dempster等人提出EM算法用于迭代求解近似解。EM算法比较简单，分为两个步骤：

• E步（E-step），以当前参数θ(i)计算Z的期望值

M步（M-step），求使Q(θ,θ(i))极大化的θ，确定第i+1次迭代的参数的估计值θ(i+1)

如此迭代直至算法收敛。关于算法的推导及收敛性证明，可参看李航的《统计学习方法》及Andrew Ng的《CS229 Lecture notes》。这里有一些极大似然以及EM算法的生动例子。

3. 实例

[2]中给出极大似然与EM算法的实例。如图所示，有两枚硬币A、B，每一个实验随机取一枚抛掷10次，共5个实验，我们可以观测到每一次所取的硬币，估计参数A、B为正面的概率θ=(θA,θB)，根据极大似然估计求解

如果我们不能观测到每一次所取的硬币，只能用EM算法估计模型参数，算法流程如图所示：

隐变量Z为每次实验中选择A或B的概率，则第一个实验选择A的概率为

按照上面的计算方法可依次求出隐变量Z，然后计算极大化的θ(i)。经过10次迭代，最终收敛。

4. 参考资料

[1] 李航，《统计学习方法》.
[2] Chuong B Do & Serafim Batzoglou, What is the expectation maximization algorithm?
[3] Pieter Abbeel, Maximum Likelihood (ML), Expectation Maximization (EM).
[4] Rudan Chen,【机器学习算法系列之一】EM算法实例分析.