1. 关联分析

关联分析是一类非常有用的数据挖掘方法，能从数据中挖掘出潜在的关联关系。比如，在著名的购物篮事务（market basket transactions）问题中，

关联分析则被用来找出此类规则：顾客在买了某种商品时也会买另一种商品。在上述例子中，大部分都知道关联规则：{Diapers} → {Beer}；即顾客在买完尿布之后通常会买啤酒。后来通过调查分析，原来妻子嘱咐丈夫给孩子买尿布时，丈夫在买完尿布后通常会买自己喜欢的啤酒。但是，如何衡量这种关联规则是否靠谱呢？下面给出了度量标准。

支持度与置信度

关联规则可以描述成：项集 → 项集。项集XX出现的事务次数（亦称为support count）定义为：

其中，ti表示某个事务（TID），T表示事务的集合。关联规则X⟶Y的支持度（support）：

支持度刻画了项集X∪Y的出现频次。置信度（confidence）定义如下：

对概率论稍有了解的人，应该看出来：置信度可理解为条件概率p(Y|X)，度量在已知事务中包含了X时包含Y的概率。

对于靠谱的关联规则，其支持度与置信度均应大于设定的阈值。那么，关联分析问题即等价于：对给定的支持度阈值min_sup、置信度阈值min_conf，找出所有的满足下列条件的关联规则：

把支持度大于阈值的项集称为频繁项集（frequent itemset）。因此，关联规则分析可分为下列两个步骤：

• 生成频繁项集F=X∪Y；
• 在频繁项集F中，找出所有置信度大于最小置信度的关联规则X⟶Y。

暴力方法

若（对于所有事务集合）项的个数为dd，则所有关联规则的数量：

如果采用暴力方法，穷举所有的关联规则，找出符合要求的规则，其时间复杂度将达到指数级。因此，我们需要找出复杂度更低的算法用于关联分析。

2. Apriori算法

Agrawal与Srikant提出Apriori算法，用于做快速的关联规则分析。

频繁项集生成

根据支持度的定义，得到如下的先验定理：

• 定理1：如果一个项集是频繁的，那么其所有的子集（subsets）也一定是频繁的。

这个比较容易证明，因为某项集的子集的支持度一定不小于该项集。

• 定理2：如果一个项集是非频繁的，那么其所有的超集（supersets）也一定是非频繁的。

定理2是上一条定理的逆反定理。根据定理2，可以对项集树进行如下剪枝：

项集树共有项集数：∑dk=1k×Ckd=d⋅2d−1。显然，用穷举的办法会导致计算复杂度太高。对于大小为k−1的频繁项集Fk−1，如何计算大小为kk的频繁项集Fk呢？Apriori算法给出了两种策略：

1. Fk=Fk−1×F1方法。之所以没有选择Fk−1与（所有）1项集生成Fk，是因为为了满足定理2。下图给出由频繁项集F2与F1生成候选项集C3：

Fk=Fk−1×Fk−1方法。选择前k−2项均相同的fk−1进行合并，生成Fk−1。当然，Fk−1的所有fk−1都是有序排列的。之所以要求前k−2项均相同，是因为为了确保Fk的k−2项都是频繁的。下图给出由两个频繁项集F2生成候选项集C3：

生成频繁项集Fk的算法如下：

关联规则生成

关联规则是由频繁项集生成的，即对于FkFk，找出项集hmhm，使得规则fk−hm⟶hmfk−hm⟶hm的置信度大于置信度阈值。同样地，根据置信度定义得到如下定理：

定理3：如果规则X⟶Y−XX⟶Y−X不满足置信度阈值，则对于XX的子集X′X′，规则X′⟶Y−X′X′⟶Y−X′也不满足置信度阈值。

根据定理3，可对规则树进行如下剪枝：

关联规则的生成算法如下：

3. 参考资料

[1] Pang-Ning Tan, Michael Steinbach, Vipin Kumar, Introduction to Data Mining.