主成分分析(PCA)原理总结

浏览: 550

作者:张磊 从事AI医疗算法相关工作

个人微信公众号:

机器学习算法那些事(微信ID:zl13751026985

主成分分析(Principal components analysis,以下简称PCA)是最常用的降维方法之一,在数据压缩和消除冗余方面具有广泛的应用,本文由浅入深的对其降维原理进行了详细总结。

目录


1.向量投影和矩阵投影的含义

2. 向量降维和矩阵降维的含义

3. 基向量选择算法

4. 基向量个数的确定

5. 中心化的作用

6. PCA算法流程

7. PCA算法总结

1. 向量投影和矩阵投影的含义

如下图:

向量a在向量b的投影为:

其中,θ是向量间的夹角 。

向量a在向量b的投影表示向量a在向量b方向的信息,若θ=90°时,向量a与向量b正交,向量a无向量b信息,即向量间无冗余信息 。因此,向量最简单的表示方法是用基向量表示,如下图:

向量表示方法:

其中,c1是在e1方向的投影,c2是在e2方向的投影,e1和e2是基向量

我们用向量的表示方法扩展到矩阵,若矩阵秩r(A)=n

,其中ai(i=1,2,...,n)为n个维度的列向量,那么矩阵A的列向量表示为:

其中,e1,e2,...,en为矩阵A的特征向量 。

若矩阵A是对称矩阵,那么特征向量为正交向量,我们对上式结合成矩阵的形式:

由上式可知,对称矩阵A在各特征向量的投影等于矩阵列向量展开后的系数,特征向量可理解为基向量

2. 向量降维和矩阵降维含义

向量降维可以通过投影的方式实现,N维向量映射为M维向量转换为N维向量在M个基向量的投影,如N维向量,M个基向量分别为在基向量的投影:

通过上式完成了降维,降维后的坐标为:

矩阵是由多个列向量组成的,因此矩阵降维思想与向量降维思想一样,只要求得矩阵在各基向量的投影即可,基向量可以理解为新的坐标系,投影就是降维后的坐标,那么问题来了,如何选择基向量

3. 基向量选择算法

已知样本集的分布,如下图:

样本集共有两个特征x1和x2,现在对该样本数据从二维降到一维,图中列了两个基向量u1和u2,样本集在两个向量的投影表示了不同的降维方法,哪种方法好,需要有评判标准:(1)降维前后样本点的总距离足够近,即最小投影距离;(2)降维后的样本点(投影)尽可能的散开,即最大投影方差 。因此,根据上面两个评判标准可知选择基向量u1较好。

我们知道了基向量的选择标准,下面介绍基于这两个评判标准来推导基向量:

(1)基于最小投影距离

假设有n个n维数据,记为X。现在对该数据从n维降到m维,关键是找到m个基向量,假设基向量为{w1,w2,...,wm},记为矩阵W,矩阵W的大小是n×m。

原始数据在基向量的投影:

投影坐标计算公式:

根据投影坐标和基向量,得到该样本的映射点

最小化样本和映射点的总距离

推导上式,得到最小值对应的基向量矩阵W,推导过程如下:


所以我们选择的特征向量作为投影的基向量 

(2) 基于最大投影方差

我们希望降维后的样本点尽可能分散,方差可以表示这种分散程度

如上图所示,表示原始数据,表示投影数据,表示投影数据的平均值。所以最大化投影方差表示为:

下面推导上式,得到相应的基向量矩阵W,推导过程如下:

我们发现(4)式与上一节的(13)式是相同的。

因此,基向量矩阵W满足下式:

小结降维通过样本数据投影到基向量实现的,基向量的个数等于降维的个数,基向量是通过上式求解的

4. 基向量个数的确定

我们知道怎么求解基向量,但是我们事先确定了基向量的个数,如上节的m个基向量,那么怎么根据样本数据自动的选择基向量的个数了?在回答这一问题前,简单阐述下特征向量和特征值的意义。

假设向量wi,λi分别为的特征向量和特征值,表达式如下:

对应的图:

由上图可知,没有改变特征向量wi的方向,只在wi的方向上伸缩或压缩了λi倍。特征值代表了在该特征向量的信息分量。特征值越大,包含矩阵的信息分量亦越大。因此,我们可以用λi去选择基向量个数。我们设定一个阈值threshold,该阈值表示降维后的数据保留原始数据的信息量,假设降维后的特征个数为m,降维前的特征个数为n,m应满足下面条件:

因此,通过上式可以求得基向量的个数m,即取前m个最大特征值对应的基向量 

投影的基向量:

投影的数据集:

5. 中心化的作用

我们在计算协方差矩阵的特征向量前,需要对样本数据进行中心化,中心化的算法如下:

中心化数据各特征的平均值为0,计算过程如下:

对上式求平均:

中心化的目的是简化算法,我们重新回顾下协方差矩阵,以说明中心化的作用 。

,X表示共有n个样本数。

每个样本包含n个特征,即:

展开:

为了阅读方便,我们只考虑两个特征的协方差矩阵

由(3)式推导(2)式得:

所以是样本数据的协方差矩阵,但是,切记必须事先对数据进行中心化处理 

6. PCA算法流程

1)样本数据中心化。

2)计算样本的协方差矩阵

3)求协方差矩阵的特征值和特征向量,并对该向量进行标准化(基向量)。

3)根据设定的阈值,求满足以下条件的降维数m。

4)取前m个最大特征值对应的向量,记为W。

5)对样本集的每一个样本,映射为新的样本

6)得到映射后的样本集D'。

7. 核主成分分析(KPCA)介绍

因为可以用样本数据内积表示

由核函数定义可知,可通过核函数将数据映射成高维数据,并对该高维数据进行降维:

KPCA一般用在数据不是线性的,无法直接进行PCA降维,需要通过核函数映射成高维数据,再进行PCA降维 

8. PCA算法总结

PCA是一种非监督学习的降维算法,只需要计算样本数据的协方差矩阵就能实现降维的目的,其算法较易实现,但是降维后特征的可解释性较弱,且通过降维后信息会丢失一些,可能对后续的处理有重要影响。

参考

https://www.cnblogs.com/pinard/p/6239403.html#undefined

A Singularly Valuable Decompostion: The SVD of a Matrix

推荐阅读:

  1. 掌握数据生命周期:初识数据埋点

  2. 被“改改改”和“催催催”蹂躏之余,你是不是忘了这个武器

  3. 机器学习实战--住房月租金预测(3)

天善智能每日一道算法题,共同打卡小程序

推荐 0
本文由 人工智能爱好者社区 创作,采用 知识共享署名-相同方式共享 3.0 中国大陆许可协议 进行许可。
转载、引用前需联系作者,并署名作者且注明文章出处。
本站文章版权归原作者及原出处所有 。内容为作者个人观点, 并不代表本站赞同其观点和对其真实性负责。本站是一个个人学习交流的平台,并不用于任何商业目的,如果有任何问题,请及时联系我们,我们将根据著作权人的要求,立即更正或者删除有关内容。本站拥有对此声明的最终解释权。

0 个评论

要回复文章请先登录注册