【数学之美】你知道一根绳子有多长吗?

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如果给你一根绳子,问你这根绳子有多长,你会怎么做?

一根绳子有多长

这似乎是个再简单不过的问题。把绳子拉直,用尺子从一头量到另一头。

好了,结果已经出来了。

但量出来的数值真的就是这根绳子的长度吗?答案远没有这么简单。

英国广播公司BBC在2009年专门拍摄了一部纪录片《一根绳子有多长?》,主持人艾伦戴维斯在五金店买了一根绳子,五金店老板为他量了一下绳子的长度,32厘米。很显然这不是艾伦想要的数字。于是,艾伦开始了测量一根绳子真正长度的神奇旅程。

绳子长度

尺子量出来的数值不准,所有人都能意识到。刻度精度、印刷误差等都会影响到测量的准确性。只是我们生活中不需要那么高的精度,所以往往会忽视掉这些误差。

尺子量绳子长度

如果让你说出如何测量这根绳子最精准长度的方法,你会想到什么?

光速

你知道光的速度吗?

答案是299,792,458米/秒。

也就是说1/299792458秒光行走的距离正好是1米。因此,理论上用光来测这根绳子的长度,应该是个好办法。

全自动激光跟踪器

艾伦戴维斯在数学家马科斯桑托伊的带领下来到了国家物理研究所,在专业人员的操作下,通过全自动激光跟踪器测得这根绳子有319毫米又442微米,即 319.442毫米。

厉害

好的,我们以光速来衡量绳子的距离,得到了想要的数字,真是非常skr了,旅程到此结束。

但数学家马科斯并没有满意,他认为这仍然不是想要的结果。

马科斯举了一个例子,在地图上测量一条海岸线的长度,如果用尺子测量,距离是一个数字。如果用绳子测量,这个距离会变长。

测量海岸线的长度

因为尺子是直的,不能弯曲,用来测量地图的海岸线则将会忽略海岸线的曲折,绳子相对尺子而言可以弯曲,但是仍然不够精确。每种测量工具都能有效放大海岸线的各个细节,这会呈现出更多的迂回曲折,测量工具揭示的细节越多,长度也就越长。

马科斯认为绳子的情况也是一样的,一根绳子,并不是平滑的绳子,它上面有许多褶皱。越仔细观察,褶皱就越多。 因此,这根绳子到底多长,取决于测量工具的准确程度。

绳子长度

马科斯带艾伦来到了沙滩上,并在沙滩上画起了三角形。

科克曲线

等等,有没有觉得很眼熟?

科克曲线

没错,就是我们上次在《分形——发现隐藏的维度》一文中提到的科克曲线。

还记得那篇文章中如何介绍科克曲线的吗?由于科克曲线每一个边都是自身形状的无数次重复,因此科克曲线的周长是无限长的。

如果这根绳子也能够无限放大,绳子上面出现的褶皱就会无限多。因此得出,绳子的长度是无限长的。

所以说,这根绳子是无限长的?

黑人问号

当看到这里时,艾伦和我们的脑子一样,已经全部都是问号。

当然这只是数学的假设。截至目前,这根绳子的长度仍然是319.442毫米。现在的测量单位是毫米,如果能够用尽可能小的测量单位去测量这根绳子,会不会测量出新的长度。用什么测量单位,微米,还是纳米?

最终,艾伦决定用“原子”来测量这根绳子。

原子

艾伦找到了物理老师贝基兰顿,希望能测量出这根绳子有多少个原子长。

测量原子长度

没想到的是,当你想用原子的精细度去测量这根绳子的时候,一切都变得不一样了。

首先,在量子世界中,每个粒子可以同时出现在两个甚至多个不同的地方。虽然听上去有些荒唐,但这就是量子力学世界中真实存在的。

这也就意味着,绳子中的粒子位置是不确定的,所以你永远不知道绳子两头的端点到底在哪里。

量子力学

为了证实粒子可以同时出现在两个地方,艾伦来到了伦敦帝国理工学院,再次用围绕在我们身边的东西“光”说明这一现象。

光实验

当激光穿过一个有两条细缝的板子时,会在墙上投影出条纹一样的光带。因为光是一种波,光波通过两条细缝时,会变成两组光波,光波会彼此干扰,相互叠加的部分产生明亮的光带,相互抵消的部分只有阴影,这叫干涉图像。这个图像想要说明的是,光会在同一时间穿过两个细缝。

光学实验

如果将光换成单个的粒子,每次只发射一粒光子穿过有两条细缝的板子,神奇的事情发生了。当把多次发射后墙上投影出来的图案放在一起时,同样出了条纹一样的光带。

光粒子

如果要出现这样条纹一样的光带,光子必须同时通过两条裂缝才行才能产生干涉图像,也就是说一粒光子同时出现在了两个地方。

回到测量绳子的问题上,对于宏观世界的物体,位置是有意义的。但是在量子世界,绳子中的粒子会同时在好几个地方,也就是说绳子同时会有很多不同的长度。

又或者说,绳子实际上是不具有长度的,直到通过某种方式去测量时,长度才被创造出来了。从某种程度上来说,除非我们观察这根绳子,否则这根绳子甚至是不存在的,是观察的行为让事物变得真实。

艾伦

到此,艾伦已经被彻底搞糊涂了。

难道319.442毫米就是这根绳子所能测量出来的最高精度?

显然不是,虽然量子力学中有不确定的特性,但仍然是测量长度的最好方法。

通过计算光波行进的路程,就可以把绳子长度的精确到百万分之一米。如果使用将光波的波长压缩到一半,测量的精度就可以提升一倍。只要把足够多的能量放进光子,提升波长的频率,几乎可以实现绳子长度的任意精度。

但是毫无疑问,这个精度的尽头是哪里,总会一个问题在等着我们。

光子上下摆动的速度越快,光子就要得到越多的能量。但是爱因斯坦告诉我们,能量产生重力,重力是有极限的,一旦超过极限,或许会产生黑洞。

艾伦

当艾伦听到测量绳子长度会产生黑洞这个结论的时候,内心已经崩溃了。

到此,艾伦绳子长度测量的探索之旅就结束了。

数学家告诉我们,这根绳子的长度是无限长的,物理学家告诉我们,这根绳子同时有多个长度,或者没有长度。

或许我们一开始以为,这趟旅程只不过是找一些科学家,将这根绳子放在各种先进的测量仪器上,只需片刻,就能测量出不同精度的长度,并不非花费太长的时间和太多的精力。

但事实上,测量绳子长度这件小事,想要追求极致的精确计算却极其困难,甚至做不到。所有的度量单位,不过只是近似于真正的标准值而已。

我们追求极致的过程,其实已经成为了一个哲学旅程。

至于我们最初的问题,这根绳子有多长?好像已经不那么重要了。

五金店老板量出的长度,32厘米,不就很好嘛。

如果你想要了解到关于这趟绳子长度探索之旅更多的细节,欢迎点击下面的链接,观看这部纪录片。

视频链接:一根绳子有多长?

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