值此秋招之际，特推出BAT面试必考算法系列，助力大家步入互联网大厂。今天是数学篇41道到61道
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41、毕业典礼后，某宿舍三位同学把自己的毕业帽扔了，随后每个人随机的拾起自己的帽子，三个人中没有人选到自己原来带的帽子的概率是：1/3
42、人工批量种植盆景虎皮兰，已知它们植株高度平均70cm，标准差5cm。现在从中随机输出100盆景到市场销售，则下面说法错误的是（）：
估计100盆中至少有75盆高度在60到80cm之间
有较高把握估测这100盆的平均高度在69到72cm之间
估计100盘中至少有70盆高度在65到75cm之间
正态分布曲线性质中有 ：P（μ-σ<X≤μ+σ）=68.3%P（μ-2σ<X≤μ+2σ）=95.4%P（μ-3σ<X≤μ+3σ）=99.7%；依照题意，落在 [65,75]之间 平均有 有68盆，落在[60,80]之间 平均 有95盆，
43、中关村电子城某卖手机的店铺给客人报价，如果按照底价500元（成本价）报出，那么客人就一定会选择在该店铺购买；价格每增加1元，客人流失的可能性增加1%。那么该店铺给客人报出的最优价格是？550
44、当前国内A股市场的新股发行采取的是抽签申购的方式。假设最多可以申购某新股X 1万股，以1千股为单位分配一个号码进行抽签，每个号码抽中与否是相互独立的且概率为0.5%，X的发行价是10元,涨至15元和20元的概率均为50%，那么在最大申购的情况下盈利的期望是____。375
最多申购10000股，1000股分配一个号，则顶格申购就会产生10个号，每个号码是否中签独立，就是说中签号为伯努利事件，服从B(10，0.005),
中签的期望为E=n*p=10*0.005=0.05. 发行价是10元,涨至15元和20元的概率均为50%,则如果中签后每股收益的期望为 （15-10）*0.5+（20-10）*0.5=7.5。因此总的收益为 中签的概率期望* 中签后每股收益的期望*股数=0.05*7.5*1000=375.
45、在某恶劣天气，若地图上S点到T点的交通网如下图所示，其中每条边表示一条双向通道，其上的数字为该通路可通行的概率，且该概率两两独立。求S到T的可通行概率为多少？ 59/144
p(sct): 1/6
p(sb): 1-(1-1/2)(1-1/6)=7/12
p(sbt):7/12*1/2=7/24
p(st)=1-(1-p(sct))(1-p(sbt))=59/144
46、某请求被随即分配到四台机器进行处理，分配到每台机器的概率A15% B20% C 30% D 35%, 处理请求的失败概率分别为5% ，4%， 3% 2%，现在请求失败，问由C造成的概率最接近
P(由C造成请求失败|请求失败)
=P(由C处理请求)*P(C处理请求失败)/P(请求失败)
=0.3*0.03/(0.15*0.05+0.2*0.04+0.3*0.03+0.35*0.02)
=0.2857
47、假设我们有三个箱子，分别是红色，蓝色和绿色。在红色箱子中有3个苹果，4个橘子，3个柠檬。在蓝色箱子中有1个苹果，1个橘子和0个柠檬，在绿色箱子中有3个苹果，3个橘子和4个柠檬。如果我们选择箱子的概率是红色0.2，蓝色0.2，绿色0.6，并且选择一个箱子后，以均匀的概率随机移除一个水果。如果我们发现移除的水果是橘子，那么这个橘子来自绿色箱子的概率是多少 0.5
全概率和后验概率的知识：
p(x/A)=0.4；移除橘子来自红色箱子
p(x/B)=0.5； 移除橘子来自蓝色箱子
p(x/C)=0.3；移除橘子来自绿色箱子
p(x)=p(A)*p(x/A)+p(B)*p(x/B)+p(C)*p(x/C)=0.36
后验概率p(C/x)=p(c)p(x/C)/p(x)=0.6*0.3/0.36=0.5
48、有8只球队，采用抽签的方式随机配对，组成4场比赛。假设其中有4只强队，那么出现强强对话（任意两只强队相遇）的概率是____。27/35
把8支队伍分成强队（A、B、C、D）和弱队（A‘、B’、C‘、D’），首先考虑全组合：A可以选择剩下的7支队伍，剩下6支队伍假设为（B、C、D）和弱队（B’、C‘、D’），B选择可以选5支队伍，然后剩下的可以选3支，剩下两队就不用选了，总共为7*5*3；如果只能强队和弱队组合：A可以选4支队伍，然后B可以选3支，然后C可以选2支，D也不用选了，总共为4*3*2。出现强强相遇的概率就为
1-(4*3*2)/(7*5*3)=27/35
49、男女两人相亲，约定晚上19点至20点见面，但是两人并不情愿。男方的等待容忍时间为30分钟，女方的等待容忍时间为20分钟，请问两人有缘见面的概率为？47/72
几何慨型 20/60＝1/3 30/60 = 1/2 见面的概率 （1-1/2%1/2*1/2-1/2*2/3*2/3）/1 =47/72
50、强度为 2 的泊松分布过程的点间间距是相互独立的随机变量，且服从均值为（ ）的同一指数分布0.5
强度 λ 的泊松过程的点间间距是相互独立的随机变量，且服从同一个指数分布（即参数为 λ 的指数分布），而指数分布的均值为1/λ
51、某国家非常重男轻女，若一户人家生了一个女孩，便再要一个，直到生下男孩为止，假设生男生女概率相等，请问平均每户人家有________个女孩。1
52、已知中国人的血型分布约为A型：30%，B型：20%，O型：40%，AB型：10%，则任选一批中国人作为用户调研对象，希望他们中至少有一个是B型血的可能性不低于90%，那么最少需要选多少人?11
由于一个人不是B型血的可能性是1-0.2=0.8，那么求至少有一个是B型血的可能性即要求1减去没有一个为B型血的概率，那么题目变为1-（0.8）^n>=0.9,即0.1>=0.8^n,在这里两边取对数即可以求出答案，
但我在这里犯了个致命的错误，因为log对小于1的数都为负数，因此符号会变号，所以我之前求得n<=10.3,因此选了9，但变号之后，n>=10.3,故应选11
53、S市A，B共有两个区，人口比例为3：5，据历史统计A的犯罪率为0.01%，B区为0.015%，现有一起新案件发生在S市，那么案件发生在A区的可能性有多大？（）28.6%
含有%的概率题，可以实例化是最好的方式。故而，B区5000人，A区3000人，A区30个罪犯，B区75个罪犯。那么狠显然30/(30+75)=0.2857,就是C。
54、有朋自远方来，他乘火车，轮船，汽车，飞机来的概率分别是0.3,0.2,0.1,0.4，坐各交通工具迟到的概率分别是1/4,1/3,1/12,0，下列语句中正确的是
如果他准点，那么乘飞机的概率大于等于0.5
坐陆路（火车，汽车）交通工具准点机会比坐水路（轮船）要低
如果他迟到，乘火车的概率是0.5
如果他准点，坐轮船或汽车的概率等于坐火车的概率
坐各交通工具准点（不迟到）的概率分别是：3/4,2/3,11/12,1.
A.若准点，则乘飞机的概率：（0.4*1）/(0.3*3/4+0.2*2/3+0.1*11/12+ 0.4*1)=8/17=0.47
B.坐火车的准点率：0.3*3/4=9/40=27/120 坐汽车的准点率：0.1*11/12=11/120 坐轮船的准点率：0.2*2/3=2/15=16/120，则坐轮船准点率介于火车与汽车之间。则B不对。
C.若迟到，乘火车的概率： （0.3*1/4）/( 0.3*1/4 +0.2*1/3+0.1*1/12+ 0.4*0)=0.5
D. .若准点，则乘轮船的概率：（0.2*2/3）/(0.3*3/4+0.2*2/3+0.1*11/12+ 0.4*1)=8/51
乘汽车的概率：（0.1*11/12）/(0.3*3/4+0.2*2/3+0.1*11/12+ 0.4*1)=11/102
乘火车的概率：（0.3*3/4）/(0.3*3/4+0.2*2/3+0.1*11/12+ 0.4*1)=9/34
则，乘轮船或汽车的概率： 8/51+ 11/102=9/34，即等于乘火车的概率。
55、对立的两方争夺一个价值为1的物品，双方可以采取的策略可以分为鸽子策略和鹰策略。如果双方都是鸽子策略，那么双方各有1/2的几率获得该物品；如果双方均为鹰策略，那么双方各有1/2的概率取胜，胜方获得价值为1的物品，付出价值为1的代价，负方付出价值为1的代价；如果一方为鸽子策略，一方为鹰策略，那么鹰策略获得价值为1的物品。在争夺的结果出来之前，没人知道对方是鸽子策略还是鹰策略。当选择鸽子策略的人的比例是某一个值时，选择鸽子策略和选择鹰策略的预期收益是相同的。那么该值是( )。0.5
选择鸽策略：预期收益E1= 1/2 P + 0 P为对方选鸽的概率
选择鹰策略：预期收益E2= P + （1-P)(-1+1/2） 对方只要选鹰自己先付出1再有一半可能获得1
E1=E2； P=0.5
56、卡方分布的方差为2倍的自由度为？2n
57、某服务请求经负载均衡设备分配到集群A、B、C、D进行处理响应的概率分别是10%、20%、30%和40%。已知测试集群所得的稳定性指标分别是90%、95%、99%和99.9%。现在该服务器请求处理失败，且已排除稳定性以外的问题，那么最有可能在处理该服务请求的集群是_____A、B___。
令L代表服务器请求处理失败，A,B,C,D分别代表对应的集群处理响应。
则有P(A)=10%,P(B)=20%,P(C)=30%,P(D)=40%
P(L|A)=10%,P(L|B)=5%,P(L|C)=1%,P(L|D)=0.1%
题目要求P（X|L），X可取A,B,C,D,求其中的最大值。
根据贝叶斯概率公式
P(A|L)P(L)=P(L|A)P(A)=0.01
P(B|L)P(L)=P(L|B)P(B)=0.01
P(C|L)P(L)=P(L|C)P(C)=0.003
P(D|L)P(L)=P(L|D)P(D)=0.0004
其中，P(L)虽然未知，但不用计算，即可比较大小，得P(A|L)=P(B|L)>P(C|L)>P(D|L)
所以选A,B
58、某市发生了一次车撞人后逃逸的交通事故，该市只有两种颜色的车，其中蓝色车占15%，绿色车占85%，事发时有人在现场看见似乎是一辆蓝色的车，但是根据专家的现场分析，在当时那种条件能看正确的可能性是80%，请问肇事的车是蓝车的概率是 41 %?
令x代表肇事了，要b代表蓝车，g代表绿车，则根据题意，求p(b|x)=？ 分析：p(b)=15%; p(g)=85%; p(x|b)=80%-----意思为蓝车肇事的可能性 则 p(b|x)=p(x|b)*p(b)/p(x) 其中p(x)=p(x|b)*p(b)+ p(x|!b)*p(!b)
59、20个阿里巴巴B2B技术部的员工被安排为4排，每排5个人，我们任意选其中4人送给他们一人一本《effective c++》，那么我们选出的4人都在不同排的概率为：
5^4*4!*16!/20!
60、某公司有这么一个规定：只要有一个员工过生日，当天所有员工全部放假一天。但在其余时候，所有员工都没有假期，必须正常上班。假设一年有365天，每个员工的生日都概率均等地分布在这365天里。那么，这个公司需要雇用多少员工，才能让公司一年内所有员工的总工作时间期望值最大？365
解析：一个人，对于任意一天，过生日的概率是 1 / 365, 不过生日的概率是 364 / 365
n个人，对于任意一天，没任何人过生日的概率是(364 / 365)^n
n个人，对于任意一天，有人过生日的概率是 1 - (364 / 365)^n
那么365天里有人过生日的期望天数是 365（1 - (364 / 365)^n）天，
则n个人，365天，每个人工作的期望天数是365 - 365（1 - (364 / 365)^n） = 365(364 / 365)^n
从而所有人的期望工作天数的和为：365n(364/ 365)^n，求导数，导数不小于0，递增
61、若用φ（ｎ）表示欧拉函数，请问：φ（５６）的欧拉函数之积为？24
其中p1, p2……pn为x的所有质因数，x是不为0的整数。
56=2*2*2*7
1 φ（56）=56*(1-1/2)*(1-1/7)=24