值此秋招之际，特推出BAT面试必考算法系列，助力大家步入互联网大厂。今天是数学篇21道到40道
本文是天善智能签约讲师 张龙祥老师的课程Hellobi Live | 数据分析岗位面试经验分享 课件，未经允许，禁止转载。
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21、有个苦逼的上班族，他每天忘记定闹钟的概率为0.2，上班堵车的概率为0.5，如果他既没定闹钟上班又堵车那他迟到的概率为1.0，如果他定了闹钟但是上班堵车那他迟到的概率为0.8，如果他没定闹钟但是上班不堵车他迟到的概率为0.9，如果他既定了闹钟上班又不堵车那他迟到的概率为0.0，那么求出他在60天里上班迟到的期望。
期望=概率*样本值；
所以 迟到的天数=（0.2*0.5*1+0.8*0.5*0.8+0.2*0.5*0.9）*60=30.6
22、两个人轮流抛硬币，规定第一个抛出正面的人可以吃到苹果，请问先抛的人能吃到苹果的概率多大？1/2
无限抛是2/3、只抛一轮是1/2
19、甲盒中有 200 个螺杆，其中有 160 个 A 型螺杆；乙盒中有 240 个螺母，其中有 180 个 A 型的。现从甲乙两盒中各任取一个，则能配成 A 型螺栓的概率为多少? 3/5
4/5 * 3/4
23、某次买可乐集瓶盖活动中有5种不同的瓶盖以等概率出现，每买一瓶汽水可得到一个瓶盖，集齐所有瓶盖所买汽水瓶数的期望，与以下哪个结果最为接近？11
取到一种不同瓶盖的期望次数为1； 在已经取到一种瓶盖的情况下，再取到一种不同的瓶盖的期望次数是1/（4/5）=5/4； 在已经取到两种瓶盖的情况下，再取到一种不同的瓶盖的期望次数是1/（3/5）=5/3； 。。。 因此，取到五种瓶盖的期望次数为1+5/4+5/3+5/2+5/1=11+5/12。
24、在正方体上任取三个顶点连成三角形，则所得的三角形是直角非等腰三角形的概率为？3/7
25、52张牌，没有大小王，平均分给4个人，至少一个人拿到至少2张A的概率是多少？
0.895
52张牌分给四个人，则每人13张，全排列是52！
至少一个人拿到至少2张A的反面情况即为：4个人每个人拿一张A
这种情况为：每13张牌中有一个是A，四个A的全排列为4！，则此种情况一共为：
4! * C(13,1) * C(13,1) * C(13,1) *C(13,1)乘以剩下的48张牌的全排48！
所以答案应该为：1- 4! *C(13,1) * C(13,1) * C(13,1) * C(13,1)*48！/52! 约等于 0.895
26、a和b两个人每天都会在7点-8点之间到同一个车站乘坐公交车，a坐101路公交车，每5分钟一班【7:00,7:05……】，b坐102路公交车，每10分钟一班【7:03,7:13…】，问a和b碰面的概率是多少？（ ）143/1200
27、一个盒子装有6只乒乓球，其中4只是新球（即：未使用过的球）。第一次比赛时随机从盒子中取出2只乒乓球，使用后放回盒子。第二次比赛时又随机地从盒子中取出2只乒乓球。求：第二次取出的球全是新球的概率16%
第一次取球有三种结果：
1、2个旧的，其概率 P1 = (2*1)/(6*5) = 1/15;
2、2个新的，其概率 P2 = (4*3)/(6*5) = 2/5;
3、一旧一新,其概率 P3 = (4*2+2*4)/(6*5) = 8/15;(第一次取旧第二次取新+第一次取新第二次取旧)
第二次取球与第一次取球结果有关
1、若第一次为2个旧的， 此时新球仍为4个， 则P11= (4*3)/( 6*5) = 2/5;
2、若第一次为 2个新的，此时新球变为2个，P21= (2*1)/(6*5) = 1/15;
3、若第一次一旧一新，此时新球变为3个，P31 = (3*2)/(6*5) = 1/5;
所以，P =P1*P11+P2*P21+P3*P31 = 4/25 =0.16
28、四维空间中有两个夹角60度的向量A和B，随机生成一个向量C分别与A和B计算内积，那么两个内积符号相同的概率为____。
解析：内积 A · B=|A| · |B| · cos<A,B> ， 内积的正负由A,B夹角余弦决定，夹角的取值范围为[0， Π]
设 A 向量方向为 X 轴正方向，B向量为60度(当然也可能为120度，只考虑第1和第2象限，其他象限概率相同，特值为60度是合理的)
则 C 与 A的夹角为 [ 0, Π /2 ]为正 ，[ Π /2， Π ]； 则 C 与 B的夹角为 [ Π /3 , Π /2+ Π /3 ]为正 ，[ Π /2+ Π /3 ， Π ]为负
因此: 2 Π / 3 / Π =2/3
29、甲乙两个人比试射箭，两人射术水平一样。如果甲射了101箭，而乙射了100箭，求甲射中次数比乙射中次数多的概率是？1/2
因为2人水平一样，则前100次2人平手，第101次是关键，甲只有两种情况，射中和不射中(概率都是1/2)，射中的话甲比乙多，不射中的话相等
30、平均要取多少个(0,1)中的随机数才能让和超过1。e
任取n个0到1之间的实数，这些数之和小于1的概率：
(1) n=1，p1 = 1 = 1/1!
(2) n=2，p2 = 1/2 = 1/2!
二维空间中x+y<1的几何分布模型
(3) n=3，p3 = 1/6 = 1/3!
三维空间中x+y+z<1在单位立方体中截得三棱锥的体积
∫(0..1) (x^2)*1/2 dx = 1/6
(4) n=4，p4 = 1/24 = 1/4!
四维空间中单位立方体一角的“体积”，其“底面”为一个体积为1/6的三维体
∫(0..1) (x^3)*1/6 dx = 1/24
依此类推， n 个随机数之和不超过 1 的概率就是 1/n! ，反过来 n 个数之和大于 1 的概率就是 1 -1/n! ，因此加到第 n 个数才刚好超过1 的概率就是
(1 - 1/n!) -(1 - 1/(n-1)!) = (n-1)/n!
因此，要想让和超过 1 ，需要累加的期望次数为
∑(n=2..∞) n *(n-1)/n! = ∑(n=1..∞) n/n! = e
简单粗暴：数学中公式：n 个随机数之和不超过 1 的概率就是 1/n! ，反过来 n 个数之和大于 1 的概率就是 1 - 1/n!，，因此加到第 n 个数才刚好超过 1 的概率就是累加求和： ∑(n=2..∞) n * (n-1)/n! = ∑(n=1..∞) n/n! = e
31、黑白球各5000个，每次从其中取两个出来，若同色，则放回一个黑球，否则放回一个白球，问最后剩下的是黑球的概率是多少？100%
取出2个黑球：白球不变，黑球个数减1
取出2个白球：白球个数减2，黑球个数加1
取出1黑1白：白球不变，黑球个数减1
也就是说，白球的个数 不是减2就是不变，所以白球的个数一直为偶数，5000，4998，.....2,0,也就是说，如果最后剩下了一个球，那么这个球绝对不可能是白球，只能是黑球，所以D是对的。
32、一个英雄基础攻击力为100，携带了三件暴击武器，武器A有40%的概率打出2倍攻击，武器B有20%的概率打出4倍攻击，武器C有10%概率打出6倍攻击，各暴击效果触发是独立事件，但是多个暴击效果在一次攻击中同时触发时只有后面武器的暴击真正生效，例如一次攻击中武器A判定不暴击，武器B和武器C都判定触发暴击，那么这次攻击实际是600攻击力。那么这个英雄攻击力的数学期望是____。232.8
（600 * 10%） +（400* 90%* 20% ）+（200 * 90% * 80% * 40%） +（100*60%*80%*90%）= 232.8
33、58同城北京租房列表页共有3个广告位，广告库中共有5个经纪人，每个经纪人发布了2条广告房源参与此列表页3个广告位的随机展示(即每条广告房源获得展示的概率是一样的),则此列表页展示时，同时展示同一个经纪人的两条房源的概率是（）1/3
共5*2=10条广告，广告列有3空位，所以是总共情形：C10 3=120；
同一经纪人（C5 1）的两条房源（共3条，已有2条，则需要在剩下的8条中选1条，C10-2 1）：C 5 1*C 10-2 1=40；
所以40/120=1/3。
33、H同学每天乘公交上学，早上睡过头或遇到堵车都会迟到；H早上睡过头的概率为0.2，路上遇到堵车的概率为0.5；若某天早上H迟到了，那么以下推测正确的有（）。
今天H早上睡过头了
今天H早上睡过头的概率为0.2
今天H早上睡过头了的概率大于0.2
今天H早上遇到堵车了
今天H早上遇到堵车的概率为0.5
今天H早上遇到堵车的概率小于0.5
C，因为H同学迟到是事实，所以睡过头占迟到总概率为2/7,堵车占迟到总概率为5/7，所以选C
选C。
当未知是否迟到时：
(a) P(睡过头 and 堵车)=0.1，迟到
(b) P(睡过头and not堵车)=0.1，迟到
(c) P(not 睡过头 and 堵车)=0.4，迟到
(d) P(not 睡过头 and not 堵车)=0.4，不迟到
当已知迟到时，abc的概率分别为1/6 1/6 2/3，睡过头概率1/3，堵车概率5/6。
34、关于 ARMA 、 AR 、 MA 模型的功率谱，下列说法正确的是（ ）
MA模型是同一个全通滤波器产生的
MA模型在极点接近单位圆时，MA谱是一个深谷
AR模型在零点接近单位圆时，AR谱是一个尖峰
RMA谱既有尖峰又有深谷
35公司年会举办抽奖活动：不透明的抽奖箱里面有红、橙、黄、绿、青、蓝、紫七个颜色不同的小球，假设每次只能随机摸出一个小球，摸出后再放回重新摸，练习簿摸出两个颜色相同的小球即视为中奖，那么员工的中奖概率是多少？（）1/7
第一次随便摸出一个球，不影响，放回去后箱子里还是7个不同颜色的球，则抽中和第一个颜色相同的概率是1/7.因此中奖概率为1/7.第一次的结果不影响
36、甲乙两路发车间隔均为10分钟的公交车发车时刻分钟数个位分别为1和9，那么对于一个随机到达的乘客，ta乘坐甲车的概率为：0.2
到达车站时有以下可能的分钟尾数 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
0,1的话就能等到甲路,2~9等到的是乙路.
37你有100个球，红的50个，蓝的也是50个,你需要把它们（所有的球）放在两个罐子中（随便怎么放），请问怎样放使你从中拿出红球（拿一次）的机率最大？
一个罐子50个红球 ，另一个罐子50个篮球
一个罐子不放球 ，另一个罐子放100个球
一个罐子1个红球 ，另一个罐子49个红球，50个篮球
一个罐子1个红球，50个篮球 ，另一个罐子49个红球
两个罐子 p1 p2，选取每个罐子的概率p(p1) =p(p2)= 0.5
计算公式为 P(red) =p(p1)p(res|p1) + p(p2)p(red|p2)
A p(red) = 0.5* 1 + 0.5 * 0 = 0.5
B p(red) = 0.5 * 0 +0.5 * 0.5 = 0.25
C p(red) = 0.5 * 1 +0.5 * (49/99) 约等于 0.75
D p(red) = 0.5 *(1/51) + 0.5 * 1 约等于 0.52
38、一个骰子，6面，1个面是 1， 2个面是2， 3个面是3， 问平均掷多少次能使1、2、3都至少出现一次！7.3
第一次获得不同的数字的期望为1，原来没有数字。
假设第一次获得 1 ， 概率 为 1/6， 第二次获得不同的期望是：1/（5/6）= 6/5
假设第二次获得 2，概率 为 2/5， 第三次获得不同的期望是：1/（3/6）= 6/3
假设第二次获得 3，概率 为 3/5， 第三次获得不同的期望是：1/（2/6）= 6/2
假设第一次获得 2 ，概率 为 2/6， 第二次获得不同的期望是：1/（4/6）= 6/4
假设第二次获得 1， 概率 为 1/4， 第三次获得不同的期望是：1/（3/6）= 6/3
假设第二次获得 3，概率 为 3/4， 第三次获得不同的期望是：1/（1/6）= 6/1
假设第一次获得3 ， 概率 为3/6， 第二次获得不同的期望是：1/（3/6）= 6/3
假设第二次获得 1，概率为 1/3，第三次获得不同的期望是：1/（2/6）= 6/2
假设第二次获得 2，概率 为 2/3， 第三次获得不同的期望是：1/（1/6）= 6/1
上述分析的全排列，及其概率为：
1 , 2 , 3 期望：（1 + 6/5 + 6/3) *(1/6 * 2/5 * 3/3) = 7/25 = 0.28
1 , 3 , 2 期望：（1 + 6/5 + 6/2) *(1/6 * 3/5 * 2/2) = 13/25 = 0.52
2 , 1 , 3 期望：（1 + 6/4 + 6/3) *(2/6 * 1/4 * 3/3) = 3/8 = 0.375
2 , 3 , 1 期望：（1 + 6/4 + 6/1) *(2/6 * 3/4 * 1/1) = 17/8 = 2.215
3 , 2 , 1 期望：（1 + 6/3 + 6/1) *(3/6 * 2/3 * 1/1) = 3
3 , 1 , 2 期望：（1+ 6/3 + 6/2) *(3/6 * 1/3 * 2/2) = 1
总期望 = 0.28 + 0.52 +0.375 + 2.215 + 3 + 1 = 7.3
39、若AB为任意两个随机事件，则（）
P(AB)>=(P(A)+P(B))/2
P(AB)<=P(A)P(B)
P(AB)<=(P(A)+P(B))/2
P(AB)>=P(A)P(B)
由P（AB）定义可知：P（AB）<=P(A)，P（AB）<=P(B)；相加，除以2得C
40、圆内接三角形是锐角三角形概率是多少（）1/4
圆内接三角形的最大角至少要大于等于60度，该最大角的范围可从60到180度变化，但只有60到90间为锐角，所以占1/4.
